Skaičių magija

Fantastiniame humoristiniame Daglaso Adamso romane „Keliautojo autostopu vadovas po galaktiką“ pasakojama apie nežemiškos civilizacijos sukurtą superkompiuterį, kuris į klausimą – kokia yra gyvenimo, Visatos ir viso kito esmė, atsakė – 42. Šis autoriaus pokštas kada nors gali pasirodyti ne toks ir juokingas. 2007 metais fizikas teoretikas Maxas Tegmarkas paskelbė matematinės Visatos hipotezę. Jo manymu, mūsų fizinė tikrovė yra matematinė struktūra – Visata ne aprašoma matematiškai, o ji pati yra matematika. Mūsų neabejotinai dar laukia daug staigmenų. Kaip ir minėtos knygos herojų.

Tad kas yra matematika – instrumentas, padedantis įžvelgti ir aprašyti įvairius pasaulio reiškinius, be kurio neišsiverčia inžinieriai, fizikai, o vis dažniau ir biologai? Ar tai kažkas daugiau – mąstymo būdas ir gal net filosofijos dalis? Apie tai kalbamės su 2015 metų Lietuvos mokslo premijos laureatais teorinės matematikos srityje.

Matematikas, prof. Antanas Laurinčikas: dauguma sieja matematiką su skaičiavimais, bet iš  tikrųjų jos esmė platesnė. Tai ypatingas mąstymo būdas, operuojant abstrakčiomis sąvokomis. Abstrakčiais objektais, kurių prigimtis matematikai visai nesvarbi.  Iš kito pusės, matematika taikoma visur, visuose tiksliuose moksluose.

Viskas prasidėjo nuo abstrakčios esybės – skaičiaus, nusakančio kieno nors kiekį. Skaičius pagimdė praktiniai poreikiai. Manoma, kad pirmieji juos ėmė naudoti šumerai prieš 6000 metų. Jų skaičiavimo sistemų pagrindas buvo dešimtainė ir šešiasdešimtainė sistemos. Žemdirbiai taip skaičiuodavo gyvulius ir savo gaminius. Geometrijos pradmenys susiformavo Babilone ir Egipte, kur savininkams reikėdavo tiksliai išmatuoti sklypų ribas. Skaičių atradimas pakeitė pasaulį ir mūsų supratimą apie jį. Senovės graikai labai žavėjosi skaičiais. Jie manė, kad tai vienintelis stabilus dalykas nuolat besikeičiančiame pasaulyje. Jiems jau kur kas vėliau pritarė vokietis, algebros specialistas Leopoldas Kronekeris. Jis teigė, kad skaičiai yra iš Dievo, o visa kita sukūrė žmogus. Graikai pirmieji pastebėjo ir skaičių magiją. Keistus dėsningumus, simetrijas ir nepaaiškinamus derinius.

Prof. Ramūnas Garunkštis sako: jie galvojo, kad skaičiai turi tam tikrų mistikos elementų. Pvz., jie įrodė, kad šaknis iš dviejų nėra racionalusis skaičius. Jo negalima užrašyti kaip trupmenos. Tai buvo didelis šokas, nes tai visiškai kitokios prigimties skaičius.  Ir jie galvojo, kad tai pažeidžia harmoniją ir net tam tikrą laiką slėpė šį faktą. Kad visuomenės neišardytų tokia netikėta idėja. 

Skaičiai ir jų grupės turi gražių simetrijų. Pavyzdžiui, Fibonačio skaičių seka ypatinga tuo, kad kiekvienas šios sekos skaičius, pradedant nuo trečiojo, gaunamas sudėjus du ankstesnius sekos skaičius, o gretimų skaičių santykis apytikriai yra Aukso pjūvio santykis (1.6). Mokslininkai pastebėjo, kad ši skaičių seka būdinga daugeliui gyvosios gamtos objektų. Pradedant moliuskų kriauklėmIs ir baigiant galaktikų spiralėmis. Gamtoje randamos proporcijos yra universalios ir malonios žmogaus akiai. Todėl šis aukso pjūvis naudotas jau Egipte, statant piramides. jį galima įžvelgti ir Leonardo da Vinčio darbuose „Vitruvijaus žmogus“ arba „Mona Liza“. Simetrijos veikia, jos padeda įrodyti teoremas, sukurti koncepcijas. Net ir elementariųjų dalelių medžiotojai yra sukūrę supersimetrijos modelį – jie mano, kad būtinai suras trūkstamas keliolika dalelių ir tai padės įminti daugelį dalelių fizikos bei Visatos struktūros mįslių.

R. Garunkštis: algebra – tai mokslas apie simetrijas. Pavyzdžiui, grupių teorija. Jeigu kažką tiri ir aptinki kažkokią simetriją – tai ženklas, kad greičiausiai esi teisingame kelyje.

 

Nors skaičiais manipuliuoti žmonija pradėjo seniai, moderniosios matematikos pradžios reiktų ieškoti senovės Graikijoje. Dar gerokai prieš mūsų eros pradžią.

R.Garunkštis: į galvą pirmiausia ateina Euklidas ir jo geometrija. Tai buvo visiškai tiksli, pagal kanonus sukurta matematika. Matematika buvo ir prieš tai. Sakoma, kad graikai daug ką išmoko iš babiloniečių. Bet ten matematika buvo daugiau taikomoji. O teorinė matematika gimė ir ėmė vystytis kartu su graikais.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai niekam nereikalingas dalykas. Matematika – matematikai, panašiai kaip menas menui. Tačiau ji labai gerai vertinama, kadangi žinoma nemažai pavyzdžių, kaip teoriniai svarstymai bei modeliai buvo pritaikyti įvairiose gyvenimo ir mokslo srityse.

R. Garunkštis: šiais laikais populiariausias mąstymo būdas yra mokslinis. Už tokį mąstymą mokami dideli pinigai. O šio mąstymo viršūnė yra matematika. Būtent teorinė matematika. Nes čia visi teiginiai suformuluojami visiškai tiksliai. Teiginys yra arba teisingas, arba klaidingas. Ir jis toks bus visada.

Viena įdomiausių teorinės matematikos tyrimų sričių yra skaičių teorija. Dar prieš penkiasdešimt metų garsus matematikas Džefris Hardis sakė, kad skaičių teorija – absoliučiai teorinė šaka, neturinti jokių praktinių taikymų. Ir puiku, kad viskas vyksta dėl pačių formulių grožio, įrodymų estetikos.

R. Garunkštis: tačiau tepraėjo nedaug laiko ir net skaičių teorija turi praktinių pritaikymų. Tokių, kaip informacijos kodavimas ar šifravimas. Tai dažniausiai gryna skaičių teorija, pagrįsta pirminių skaičių savybėmis, kuri naudojama bankininkystėje.

Daug Visatos ir mus supančio pasaulio savybių galima aprašyti teigiamais sveikaisiais skaičiais: pradedant planetų orbitomis, muzikine harmonija, cheminių elementų santykiais periodinėje lentelėje ir baigiant triušių dauginimusi arba ramunės žiedlapių skaičiumi. Sveikieji skaičiai labai svarbūs žmogaus mokslinio suvokimo evoliucijoje. Pavyzdžiui, prancūzų chemikas Antuanas Lavuazje pastebėjo, kad dalys, kuriomis elementai įeina į cheminį junginį, yra sveikieji skaičiai. Degant vandeniliui, reikia dviejų o ne maždaug dviejų dalių vandenilio ir vienos, o ne maždaug vienos dalies deguonies. Taip gaunama formulė H₂O. Būtent tai padėjo chemikams įsitikinti, jog cheminės medžiagos sudarytos iš atomų.

Matematikas Paulas Erdosas žavėjosi skaičių teorija, kuri iš esmės reiškia įvairius sveikųjų skaičių savybių tyrimus. Jo manymu, jeigu kokia nors matematinė problema lieka neišspręsta daugiau negu šimtą metų, tai reiškia, kad ji – iš skaičių teorijos srities. Karlas Gausas yra pasakęs: matematika yra mokslų karalienė, o skaičių teorija – matematikos karalienė. Šioje tradicinėje, bet sudėtingoje srityje ir darbuojasi prof. A. Laurinčikas su prof. R. Garunkščiu. Dabar matematika taip sparčiai vystosi, kad nebėra žmogaus, galinčio aprėpti ir suvokti matematikos plėtrą. Paskutinis žmogus, kuris suprato visą matematiką, buvo Deividas Hilbertas, gyvenęs prieš šimtą metų.

R. Garunkštis: 1900 metais jis suformulavo pagrindines 24 matematines problemas, kurių daugelis yra išspręsta. Jos labai stipriai matematikos vystymąsi pastūmėjo į priekį. O 2000 metais buvo paskelbtos tūkstantmečio problemos, iš kurių viena jau netikėtai išspręsta. Kas įdomiausia, iš Hilberto išvardintų problemų liko vienintelė. Vadinamoji Riemanno hipotezė, ties kuria mes darbuojamės.

Pamėginkime išsiaiškinti jų darbo esmę. Paprasčiausia skaičių aibė – natūraliųjų skaičių seka: 1,2,3,4,5 ir t.t. Jos tęsinį lengva prognozuoti ir čia įžvelgti kokį nors iššūkį matematikui būtų sunku.

R. Garunkštis: skaičių teorijos pagrindinis objektas yra šios aibės poėmis. Tai pirminiai skaičiai. Tokie skaičiai, kurie dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Tai būtų 2,3,5,7,…. Ir t.t. šita skaičių seka pasižymi jau visiškai kitomis savybėmis. Tai chaotiška skaičių seka, neprognozuojama, niekas negali pasakyti, jeigu žino n-tąjį pirminį, koks bus n+1 pirminis. Tai absoliutus chaosas. Ir tokie dalykai traukia matematikus, nes surasti kažkokią tvarką chaose – didelis iššūkis.

A. Laurinčikas: matematikoje sprendžiant skaičių teorijos uždavinius, reikia įrodyti, kad tam tikrų skaičių yra be galo daug. Skaičiavimai čia nieko neduoda. Reikia tam tikrų metodų, įrankių ir mes dirbame su tokiais įrankiais. Vienas iš jų – dzeta funkcijos, kurios turi daugybę paslapčių ir daug įdomių savybių.

Šveicarų matematikas Leonardas Euleris XVIII amžiuje pirmasis įvedė vadinamąją dzeta funkciją. Ji vadinama matematiko Riemanno dzeta funkcija, nes šis vokiečių matematikas susiejo šias dvi struktūras – pirminių skaičių chaosą su kito objekto savybėmis, vadinamomis Rymano dzeta funkcijos savybėmis.

R. Garunkštis: čia įdomu, kad pirminiai skaičiai yra diskreti struktūra. Atskiri gabaliukai. O Rymano dzeta funkcija – tolydi struktūra. Tai kažkoks vienas dalykas, viena funkcija. Mūsų problema – pirminių skaičių pasiskirstymo chaosas, pervestas į visiškai kitokią struktūrą. Čia ir yra visas įdomumas. Mūsų darbas labiausiai siejasi su dzeta funkcijomis. Buvo įvestos kitos dzeta funkcijos. Galbūt kertinis dalykas, kurį mes tyrinėjame – vadinamoji Dzeta funkcijų universalumo teorija.

Profesorius A. Laurinčikas yra vienas žymiausių pasaulyje universalumo teorijos specialistų. Laureatams pavyko iš esmės praplėsti universalių dzeta funkcijų klasę. Dzeta funkcijos universalumas reiškia, kad joje telpa visos kitos funkcijos. Darbe daug dėmesio skirta ir dzetų funkcijų nulių išsidėstymo tyrimams. Tai svarbu, nes nulių pasiskirstymas dažniausiai glaudžiai susijęs su pirminių skaičių pasiskirstymu. Ar tai reiškia, kad žinant vieną pirminį skaičių, tokie tyrimai leis numatyti, koks yra toliau einantis pirminis skaičius?

R. Garunkštis: į šį klausimą iš principo negalėsime atsakyti, todėl jis formuluojamas kitokiu būdu. Formuluojama labiau suvidurkintu pavidalu, apibrėžiamos tokios funkcijos, kurios truputį labiau suvidurkintos ir apie kurių elgesį jau galima kažką pasakyti. Tai gana sudėtingi matematiniai objektai. Dzeta funkcijų savybių tyrimai leidžia pasakyti apie tų pirminių skaičių pasiskirstymą.

 

Taigi, aiškindamiesi pirminių skaičių aibės struktūrą, matematikai išmoksta užduoti reikšmingus klausimus, į kuriuos gali tikėtis prasmingų atsakymų.

Gyvi organizmai irgi sumaniai naudojasi skaičių magija praktiniais tikslais. Taip pat ir pirminių skaičių savybėmis. Maždaug prie du milijonus metų Žemėje išsivystė vabzdžiai cikados. Kai kurios jų rūšys gyvena pirminių skaičių ritmu. Beveik visą gyvenimą jos praleidžia po žeme, misdamos augalų šaknų sultimis. Tačiau išmušus valandai X, milijonai vabzdžių išlenda į paviršių, dauginasi ir po to miršta. Įdomu, kad jos taip elgiasi itin reguliariaI, kas 13 ir 17 metų. Tai pirminiai skaičiai, kurie dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Kodėl būtent tais metais? Todėl kad šitaip jos išvengia natūralių savo priešų, kurių dauginimosi ciklai yra lygūs dvejiems, trejiems, arba šešeriems metams. Šie pirminių skaičių ciklai susiformuoja iš evoliucinių matematinių aukos ir grobuonies sąveikos modelių. Modeliavimo eksperimentai parodė, kad skaitmeninės cikadų populiacijos įgyja tokį pat periodiškumą. Be abejo, kol kas neaišku, kodėl tik kai kurių rūšių cikados taip elgiasi, kokie parazitai privertė cikadas pasirinkti tokį periodiškumą ir t.t. Tačiau šis ir kiti pavyzdžiai liudija, jog gyvasis pasaulis paklūsta matematikai. Tik mes dar labai mažai apie tai žinome. Pirminiai skaičiai turi daug paslapčių.

A. Laurinčikas: yra tokie pirminiai skaičiai: poros pirminių skaičių 3 ir 5, tarp kurių skirtumas 2. Pora 5 ir 7, tarp kurių skirtumas 2. Jie vadinami pirminiais dvyniais. Iki šių dienų matematikai nežino, ar tokių porų yra be galo daug. Jeigu pavyktų tą įrodyti, matematinė visuomenė tokį žmogų labai aukštai vertintų.

Sprendžiant tokius uždavinius, neretai sukuriamI labai galingi metodai, taikomi įvairiose srityse. Atsiranda naujos matematikos šakos: algebrinė skaičių teorija arba algebrinė geometrija. Taigi, teorinė matematika – ir proto mankšta, ir bandymas suvokti pasaulį.

Pastaraisiais metais kai kurių problemų matematiniai įrodymai yra tokie abstraktūs ir sudėtingi, kad jų patvirtinimas užtrunka ne vienerius metus. Matematikas Thomas Halesas laukė penkerius metus, kol recenzentai nusprendė, jog jo pateiktame vienos geometrinės problemos įrodyme nėra klaidų ir darbą galima spausdinti. Bet su sąlyga, jog bus pažymėta, kad jie nėra įsitikinę įrodymo teisingumu. Matematika pasiekė tokį abstraktumo laipsnį, kad net ekspertai ne visada gali ją suprasti. Fizikai jau seniau buvo su tuo susidūrę. Verneris Heizenbergas XX amžiaus pradžioje nuogąstavo, kad žmonės niekada iš esmės nesupras, kas yra atomas. Tačiau proto pergalės nuolat paneIgia pesimistines prognozes.

R. Garunkštis: ankstesni laikai buvo natūralaus pasaulio tyrimai. Šiais laikais teoriniame moksle įdomus yra dirbtinių pasaulių tyrimas. Ir net dirbtinių pasaulių kūrimas. Šioje sferoje matematika yra idealus instrumentas.

Beje, matematika padeda ir mokesčių inspekcijai. Naudojant Benfordo dėsnį, galima aptikti suklastotas sąskaitas. Sukčius skaičius sąskaitoje surašo, jo manymu, atsitiktine tvarka. Todėl maždaug dešimtadalis visų skaičių prasideda vienetu, kitas dešimtadalis – dvejetu ir t.t. Tačiau pagal matematiškai pagrįstą Benfordo dėsnį sąžiningose sąskaitose tikimybė, kad skaičius prasidės vienetu, yra lygi beveik trisdešimčiai procentų. Kad dvejetu – aštuoniolikai procentų ir panašiai.

Per pastaruosius dešimt metų labai sparčiai vystosi biomatematika. Todėl, kad matematiniai metodai padeda geriau suvokti, kaip atsirado gyvybė, kaip ji funkcionuoja ir kaip organizmai sąveikauja su aplinka. Pvz., Kodėl virusų galvutės yra dvidešimt plokštumų turinčios figūros –ikosahedrono formos ir kaip mazgų teorija aiškina DNR formą ląstelėje. Arba kaip mikrobas Physarum polycephalum sugeba suprojektuoti idealų geležinkelių tinklą. Bet egzistuoja ir grįžtamasis ryšys.

R. Garunkštis: iš kitų mokslų irgi ateina taikymai į matematiką. Pavyzdžiui, neuroprogramavimas – neaišku, ar teoriškai tai iki galo suprantamas dalykas, bet tai yra tam tikra matematinė smegenų kopija ir ji naudojama tekstams bei vaizdams atpažinti. Galima sakyti, kad tai biologijos taikymas matematikoje.

Pastaruoju metu kompiuteriai ir kompiuterinė grafika labai praverčia matematikams. Jie padeda mąstyti, peržengiant žmogiškosios intuicijos ribas. Kartais leidžia gauti rezultatus, dar prieš juos formaliai įrodant. Matematinės teorijos numato reiškinius, kurių egzistavimas patvirtinamas po dešimtmečių. Taip Maksvelo lygtys numatė radijo bangų egzistavimą, o Polo Dirako lygtys – kad egzistuoja antimedžiaga. Gali būti, kad tokie matematikos instrumentai, kaip vadinamosios didelės LIE grupės kada nors padės mokslininkams sukurti vientisą fizikos teoriją ir paaiškinti Visatos sandarą.

 

Rolandas Maskoliūnas