Pasaulis kaip matematinis modelis

Standartinis kosmologijos modelis teigia, kad mūsų Visatoje dominuoja kažkokia paslaptinga, mūsų akiai nematoma tamsioji medžiaga ir tamsioji energija. Norint patikrinti šią hipotezę, reikia tiksliai žinoti kaip susiformavo matoma Visatos struktūra: žvaigždės, dujų telkiniai ar juodosios bedugnės. Viso šio milžiniško kosminio voratinklio gijų pagrindiniai komponentai – galaktikos. Siekdami suprasti jų evoliuciją, mokslininkai kuria galaktikų modelius ir lygina juos su tikromis galaktikomis. Taip gimė projektas Illustris – bandymas įminti šią mįslę, naudojant matematinius modelius ir galingiausius pasaulio kompiuterius Vokietijoje ir JAV. Tokia kompiuterinė simuliacija atskleidžia, kaip juodosios bedugnės paskirsto tamsiąją materiją galaktikose. Mokslininkai šiai gigantiškai užduočiai pasirinko erdvės fragmentą, kurio viena kraštinė lygi vienam milijardui šviesmečių. Tai kur kas geriau, negu stebėti galaktikas teleskopais. Jeigu modelis atitinka realybę, jis leidžia, pažvelgus į tolimą praeitį, pamatyti įvairių kosminių struktūrų evoliuciją. Ir tokią pat tolimą ateitį. ILLUSTRIS demonstruoja šiuolaikines matematinio modeliavimo galimybes, sprendžiant fundamentalius klausimus. Matematinius instrumentus tokiam modeliavimui kuria ir Lietuvos matematikai: akademikai Mifodijus Sapagovas, Raimondas Čiegis ir prof. Artūras Štikonas, šiemet pelnę Lietuvos mokslo premiją už darbų ciklą „Neklasikiniai diferencialiniai uždaviniai ir jų sprendimo metodai“.

Matematikai kuria virtualią realybę. Šiandien beveik viska, kas mus supa, yra skaitmenizuotas pasaulis. Gal net tikresnis už tikrąjį. Lėktuvai, kuriais skraidome, sumodeliuoti kompiuteryje. Ir visi tiki, kad rezultatai, gauti atliekant modeliavimą, tokie tikslūs, kad galima ramiai skristi. Svarbu yra tai, kad matematinis modeliavimas leidžia įtraukti į modelį daug įvairios informacijos. Turint pakankamai duomenų apie atskirus etapus ir procesus, dabar galima nagrinėti juos kaip visumą. Tiesa, kad būtų sukurta tokia virtuali skaitmeninė tikrovė, kažkas turi paruošti įrankius šiam darbui atlikti. Norint spręsti įvairius uždavinius, reikia iš pradžių užrašyti skaitinius metodus. Norint nustatyti ar tie metodai tiks konkrečiam sprendimui sukurti, juos reikia matematiškai įvertinti. Tokia veikla vadinama spektrine analize. Taigi, matematikai sukuria įrankius, padedančius tirti tuos uždavinius. O toliau kiti matematikai taiko tuos įrankius fizikoje ir pačioje skaitmeninėje analizėje.

Mokslas gimė kaip pasyvus gamtos procesų stebėjimas. Tik vėliau kaip patikimų žinių apie pasaulį gavimo būdas buvo pradėta vertinti aktyvi veikla. Mokslininkai ėmė kurti teorijas, kurių teisingumą tikrindavo eksperimentais. Tačiau šis metodas nėra visagalis. Tarkime, kaip biologams ar astronomams pamatyti milijonus metų vykstančius gyvybės ar žvaigždžių evoliucijos procesus? Kaip prognozuoti įvairių technologinių procesų patikimumą? Štai kodėl pastaruoju metu vis svarbesniu, o dažnai ir svarbiausiu žinių gavimo būdu tampa kompiuterinis modeliavimas, susiejantis teorinę analizę ir eksperimentą. Tiriamas realus objektas pakeičiamas ma­tematiniu modeliu, o vėliau virtualiuoju ob­jektu. Visa tai itin paspartino mokslo ir visuomenės progresą. Todėl iš matematikų irgi reikalaujama vis daugiau.

Smarkiai keičiasi užduotys kitoms grupėms matematikų. Jie yra beveik tokioje pat situacijoje kaip fizikai, chemikai, biochemikai. Tarpas tarp inovacijos, naujų metodų atradimo ir įdiegimo darosi vis mažesnis. Matematikos poveikio dažnai net neįvertiname. Nors matematika daugeliui atrodo abstraktus mokslas, būtent šios srities specialistų darbai, jų sukurtos formulės ir skaičiavimo, modeliavimo metodai leido atsirasti Google paieškos sistemoms, GPS grindžiamomis traukinių, automobilių, lėktuvų valdymo sistemoms, elektroninei bankininkystei, išmaniajai medicinai, laisvalaikio industrijai ir dar daug kam. Matematikai mėgsta nagrinėti uždavinius, neturinčius tiesioginės naudos. Pavyzdžiui, skaičių teorija pradėjo nešti naudą tik tuomet, kai atsirado mobilieji telefonai, kriptografija ir pan.

Kas yra tos stebuklingos lazdelės, kuriomis matematikai naudojasi it Haris Poteris? Visų pirma diferencialinės lygtys, kurios praverčia modeliuojant įvairius fizinius, biologinius procesus, dangaus kūnų judėjimą projekte Illustris, tiltų projektavimą, sąveiką tarp neuronų, Vilniaus operos teatro scenos akustiką ar automobilių kamščius mieste piko metu. Deja, diferencialinės lygtys ir sukurti itin sudėtingi matematiniai modeliai išsprendžiami vis rečiau. Tačiau sprendinius galima aproksimuoti, naudojant skaitmeninius metodus. Iš esmės bet koks pokytis realiame pasaulyje aprašomas diferencialinėmis lygtimis ir tvermės dėsniais. Tokia forma kalba pati Gamta. Tiesa, dabar ir lygtys nebe tokios , kaip anksčiau. Naudojamos diferencialinės lygtys su trupmeninėmis išvestinėmis. Nors tai skamba inovatyviai, jau Izaokas Niutonas ir Gotfridas Leibnicas, pasiūlę naudoti diferencialines lygtis, užsiminė ir apie trupmenines išvestines. Taigi, šios lygtys ilgai buvo žinomos, bet nenaudojamos.

Kas nutiko? Pasikeitė matematinis supratimas, ką galima padaryti net ir su mažiau. Kai nemoki, neužtenka ir daug. Tačiau profesionalas net su keliomis „lego“ kaladėlėmis gali kurti stebuklus. Matematikai įrodė, kad užtenka baigtinio skaičiaus tokių kaladėlių ir kompiuteryje įmanoma sukurti realaus daikto ar proceso skaitmeninį dvynį. Pavyzdžiui, kompanijos „Lufthansa“ visi lėktuvai turi tokius dvynius. Todėl jums skrendant, kompiuteryje skrenda lėktuvas dvynys. Realiu laiku skaičiuojama, kiek lėktuvas naudoja tepalų, kokia trintis, kada reikės atlikti remontą, kokia avarijos tikimybė dėl susidėvėjusių detalių. Tokia analizė padidina kelionės saugumą ir komfortą, naudinga ir ekonomiškai.

Šiandien vertingais tapo ir matematikų darbai, kuriuose jie pripažįsta negalintys išspręsti kai kurių uždavinių. Dažniausiai tokie rezultatai formuluojami kaip įverčiai, parodantys kiek laiko reikės laukti, kol rasime sprendinį, naudodami pačius galingiausius šiuolaikinius skaičiavimų resursus. Toks uždavinio sprendimo algoritmų sudėtingumo įvertinimas ir yra viso kriptografinio skaitmeninio saugumo pagrindas. Jeigu iš tikrųjų galima garantuoti, kad niekas nežino kaip spręsti, tai tampa vertybe. Tada galima tokį uždavinį įdėti į jūsų banko kortelę, į kodus, kuriais keičiatės informacija.

Tačiau ji bus vertinga tol, kol atsiras kvantiniai kompiuteriai. Matematikai jau žino, kad su tokiu kompiuteriu jie sugebės įveikti kriptografinius kodus, grindžiamus dabartiniais saugumo algoritmais. Tada jie patektų į bet kurią asmeninę sąskaitą banke arba el. paštą. Sunkiai išsprendžiamų uždavinių sudėtingumu pagrįstas ir kriptovaliutų bumas pasaulyje. Visi esame girdėję apie bitkoiną, tačiau tokių valiutų yra labai daug. Didžiausia vertybė yra netgi ne kriptovaliuta, o jos vartojimo saugumą užtikrinanti technologija. Pritaikius blokčeino technologiją, nebereikalingas bankinių operacijų prižiūrėtojas. Saugumas garantuojamas, parenkant tinkamo sudėtingumo uždavinius, kurių niekas negali greitai išspręsti. Tada kolektyviniai skaičiavimo resursai užtikrina bankinių operacijų teisingumą. Tačiau yra ir silpnoji vieta – galima dirbtinai sukurti kontrolės monopolį, jeigu grupė žmonių arba valstybė nuspręs dominuoti tokioje skaičiavimų rinkoje.

Kol nėra kvantinių kompiuterių, matematikai naudojasi superkompiuteriais, modeliuodami Visatą arba vaistų sintezės procesus. Egzistuoja ir matematinio modeliavimo laboratorija internete, vadinama MATLAB. Tai universalus programinis įrankis, skirtas įvairių matematinių uždavinių sprendimui. Jį naudodami įvairių sričių specialistai bendrauja, keičiasi žiniomis ir atlieka tarpdisciplininius tyrimus. O tai ir yra pagrindinis šiuolaikinio mokslo, technologijų, socialinių klausimų analizės privalumas. Tai panašu į globalų anglų kalbos naudojimą. Informacinių technologijų pažanga leidžia spręsti vis labiau ambicingus uždavinius. Kurti naujo tipo modelius.

Rolandas Maskoliūnas ir Ieva Knipaitė